時系列分析に用いる基本のモデルARMA過程

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ARMA過程の適用前提

定常性

今回解説するモデルは全て定常性を満たしたデータを用いることを前提にしたモデルです。モデルの適用前に定常性の有無を確認しましょう。

定常性とは何か?時系列分析に欠かせない大前提 - LESS

自己相関

基本のモデルでは1変量の時系列データを分析対象とし、データの自己相関をモデル化します。

自己相関をモデル化するので、自己相関を持たないデータに対して適用しても有用な結果が得られません。

定常性に加えて自己相関の有無を確認しておく必要があります。

ARMA過程の概要

1変量の時系列データ分析では自己相関をモデル化します。自己相関をモデルとして表現する方法は大きく分けて2つあります。

MA過程:モデルに共通の成分を含める

  • y[t] = a + b
  • y[t-1] = b + c

AR過程:モデルに1時点前のモデルを組み込む

y[t] = ay[t-1] + b

ARMA過程:AR過程とMA過程の組み合わせ

移動平均 (MA) 過程

MA:moving average process

y[t] = μ + ε[t] + θ[1]ε[t-1], ε[t] ~ W.N.(σ^2)

経済・ファイナンスデータの計量時系列分析

MA過程は共通成分を持たせることで自己相関を表現します。

  • y[t] = a + b
  • y[t-1] = b + c

移動平均モデルではε[t] (ホワイトノイズ) を共通成分として持たせます。

  • y[t] = a + ε[t]
  • y[t-1] = ε[t] + c

θ[1]ε[t-1] を加えることで2つの式で表されていたモデルを1つの式で表現します。すると、最初の定義式になります。

y[t] = μ + ε[t] + θ[1]ε[t-1], ε[t] ~ W.N.(σ^2)

経済・ファイナンスデータの計量時系列分析

t時点とt-1時点の式を比べてみると、θ[1]ε[t-1]を加えたことで共通成分ε[t-1]を表現できるようになったことがわかります。

  • y[t] = μ + ε[t] + θ[1]ε[t-1]
  • y[t-1] = μ + ε[t-1] + θ[1]ε[t-2]

定義式はμ(期待値,母平均)とσ(標準偏差)の2つのパラメータを持ちます。MA過程ではこの2つのパラメータの値を変更することによって異なる平均水準とばらつきをもつ系列を作成することができます。

MA過程の特徴

MA過程はパラメータの値に関わらず常に定常となります。

理解のための基礎知識

各種記号の読み方

  • [t]:添字は[ ]で表す
  • μ(みゅー):母平均
  • ε,Ε(いぷしろん):回帰モデルの誤差項
  • γ(がんま):ガンマ関数(大文字)、グッドマン=クラスカルのガンマ
  • θ(しーた)
  • σ^2(しぐまの二乗):母分散

参考

ホワイトノイズとは?

ホワイトノイズはモデルに不確実性を与えるのに便利なデータ系列です。

  • Ε(ε[t]) = 0
  • γ[k] = Ε(ε[t]ε[t-k]) = { σ^2, k = 0 {0, k ≠ 0

が成立するとき、ε[t]はホワイトノイズ(white noise)と呼ばれる.

経済・ファイナンスデータの計量時系列分析

定義式を解釈すると、ホワイトノイズは下記のような特徴を持つことがわかります。

  1. すべての時点において期待値が0 (平均が0)
  2. 分散が一定
  3. 自己相関を持たない

ホワイトノイズは自己相関を持たず、全ての時点において期待値が0、分散が一定です。そのため、任意に作成したモデルにホワイトノイズを加えてもモデルの特徴は変わりません。

MA過程では任意の平均(μ)と分散(σ)で作ったモデルにホワイトノイズというランダムなデータを加えることにより、任意のモデルに不確実性を与え、一般化しています。

過程とは?

英語で「process」や「scheme」にあたります。手法という意味で捉えれば良いかなと思っています。正確にわかったら記載を更新します。

参考

自己回帰 (AR) 過程

AR:autoregressive process

1次AR過程 (AR(1) 過程) は

y[t] = c + φ[1] y[t-1] + ε[t], ε[t] ~ W.N.(σ^2)

で定義され, y[t] がAR(1) 過程に従うことは y[t] ~ AR(1) と表記される.

経済・ファイナンスデータの計量時系列分析

AR過程は自分のモデルを自分自身に組み込むことで自己相関を表現します。y[t] は φ[1]y[t-1] を含む式で表されており、自己相関が表現されていることがわかります。

AR過程ではφというパラメータによって過程の定常性や自己相関の強さなどを決めていきます。

MA過程と同様に確率的変動はホワイトノイズによって決まっています。

AR過程の特徴

AR過程はMA過程とは異なりパラメータによって定常性の有無が変化します。

AR(2) 過程は循環する自己相関構造を表現できます。経済データは循環的な変動を示す傾向があるので、循環的な自己相関を記述できるAR(2) 過程は便利です。

理解のための基礎知識

φ(ふぁい):自由度

自己回帰移動平均 (ARMA) 過程

ARMA:autoregressive moving average process

自己回帰項と移動平均項を両方含んだ過程です。ARMA(p,q)過程はAR過程とMA過程の性質を併せ持っています。よって、ARMAモデルは定常になるとは限りません。

ARMA過程の派生

自己回帰和分移動平均 (ARIMA) 過程

ARIMAモデルは時系列データのd階差分系列、y[t]−y[t−d]をARMAモデルで表現するモデルです。

ARIMAモデル(自己回帰和分移動平均モデル)について分かりやすく解説! | 全人類がわかる統計学

和分過程とは、以前の値に現在の値を加算することを意味します。

時系列の種類やモデルの紹介!時系列分析とは【初心者向け】 | TechAcademyマガジン

季節調整自己回帰和分移動平均 (SARIMA) 過程

ARIMAモデルの拡張として、季節成分を取り入れたものをSARIMAモデルと呼びます。

時系列分析(ARMA・ARIMA・SARIMA) - ちょこっとPython

SARIMAモデルは季節未調整項と季節調整項に分けられます。季節調整項は季節未調整項に季毎の傾向を加えたものです。

8.9 Seasonal ARIMA models | Forecasting: Principles and Practice

ARIMA(1,1,1)(1,1,1)[4] 過程に従う四半期データ (m=4) に季節要素を反映すると下記の式になります。

(1−ϕ1B) (1−Φ1B4)(1−B)(1−B4)yt=(1+θ1B) (1+Θ1B4)εt.

-時系列データ分析

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